F. Wagemann, "Cohomologie des algèbres de Lie-Rinehart"

vendredi 29 sept. 2017, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

112 (Institut Camille Jordan)

Dans ce travail en commun avec Bas Janssens, nous calculons le premier espace de cohomologie d'une algèbre de Lie-Rinehart (sous quelques conditions techniques). La notion d'algèbre de Lie-Rinehart est la version algébrique de celle d'un algébroide de Lie, i.e. pour une K-algèbre commutative R donnée, il s'agit une K-algèbre de Lie L qui est un R-module et dont le crochet vérifie une relation de Leibniz par rapport à la multiplication par des éléments de R. En outre, il y a une ancre, i.e. un homomorphisme de R-modules et d'algèbres de Lie pi:L->Der(R). Les deux cas extrèmes sont d'une part l'algèbre de Lie des champs de vecteurs (pi=id) et une K-algèbre de Lie (R=K, pi=0). Dans ce cadre algébrique, nous définissons une catégorie de modules M "d'ordre 1", et nous calculons H^1(L,M). Pour M=L^*, cela inclut le calcul du H^2 à coefficients triviaux. Les deux points importants de notre étude sont le fait que (sous des conditions techniques) tout 1-cocycle est un opérateur différentiel d'ordre au plus 5, et l'introduction de l'algèbre de Lie-Rinehart des k-jets, J^kL. Nous montrons que la partie du H^1(L,M) qui est représentée par des opérateurs différentiels d'ordre k est isomorphe à H^1_R(J^kL,M), ce dernier espace étant celui de la cohomologie R-linéaire.