Le théorème de Pitman (1975) est un joli résultat en calcul des probabilités, derrière lequel se cache de la théorie des représentations. Pour être plus précis, il s'agit de la théorie des représentations du groupe quantique U_q(sl_2), dans le régime cristallin c'est à dire à q=0.
Beaucoup de preuves existent, et je m'intéresserai à une preuve de Bougerol et Jeulin - vraie pour tout groupe semi-simple. Ces derniers considèrent le mouvement brownien sur l'espace symétrique avec courbure r, et font tendre cette courbure vers l'infini.
Pourquoi donc le régime cristallin q=0 est-il relié à un régime de courbure infinie r=\infty? Le but de cet exposé sera donc de vous convaincre que le paramètre q, du point de vue de la quantification et la méthode de l'orbite de Kirillov, n'est pas un paramètre quantique mais bel et bien un paramètre de courbure. La relation étant q=e^{-r}.