Le changement de temps dans les équations de la dynamique, à partir des exemples
par
M 33
Batiment M
Un changement de temps dans un système mécanique naturel peut-il donner un autre système mécanique naturel?
Deux exemples de tels changements ont été remarqués en France à la fin du XIXème siècle. L'oscillateur harmonique plan donne le problème de Kepler plan. Le problème de Kepler sphérique donne le problème de Kepler plan. Ces deux "transformations des équations de la dynamique" ont des propriétés remarquables. Elles sont très différentes l'une de l'autre. Une conjecture a émergé concernant la solution générale de la question ci-dessus. Son énoncé est resté vague et trop technique (voir [1]). Je propose le suivant. Définissons un système mécanique naturel par un espace de configuration et un Lagrangien avec un potentiel indépendant de la vitesse et une partie cinétique quadratique en vitesse. Si le changement de temps de s à t transforme un système naturel en un autre système naturel, alors ds/dt est une fonction de la position éventuellement multipliée par la racine carrée d'une intégrale première quadratique du second système. Je remarque que [2] prouve cet énoncé sans utiliser toutes les hypothèses, ce qui me conduit à l'étendre à des "systèmes naturels généralisés" que j'appelle les systèmes connexion-force. Je simplifie la preuve et montre comment chaque intégrale première quadratique donne un exemple de changement de temps préservant cette nouvelle classe.
[1] Painlevé P., Sur les transformations des équations de la dynamique, Comptes Rendus, 1896, vol. 123, pp. 392-395.
[2] Thomas, T.Y. On the Transformation of the Equations of Dynamics, Journal of math. and phys., 1946, vol. 25, pp. 191-