Sur les représentations unitaires de certains groupes de permutations localement Roelcke-précompacts
par
Salle Fokko du Cloux - Bâtiment Braconnier
Le jury sera composé de :
- Mme Goulnara Arzhantseva (Université de Vienne), Examinatrice,
- Mme Indira Chatterji (Université Côte d’Azur), Examinatrice,
- M. François Le Maître (Université Bourgogne Europe), Examinateur,
- M. Dugald Macpherson (Université de Leeds), Rapporteur,
- M. Julien Melleray (Université Lyon 1), Examinateur,
- M. Christian Rosendal (Université du Maryland), Directeur de thèse,
- M. Todor Tsankov (Université Lyon 1), Directeur de thèse.
Résumé :
Cette thèse est consacrée à l'étude des représentations unitaires dans un cadre non-localement compact. Dans ce contexte, la première étape consiste à trouver des outils pour pallier l'absence de mesure de Haar. A cet effet, je m'intéresse tout particulièrement aux groupes de permutations. D'une part, contrairement à la classe plus générale des groupes polonais, ces groupes ont une théorie des représentations riche et moins pathologique. D'autre part, cela permet l'entrée en jeu de la théorie des modèles. En effet, le groupe des automorphismes d'une structure du premier ordre est un groupe de permutations, ce qui ouvre la voie à de nombreuses interactions.
Les groupes de permutations dont les représentations sont les mieux comprises sont les groupes oligomorphes. Dans un premier temps, je montre que la théorie des représentations d'un tel groupe est suffisamment riche pour permettre de le reconstruire complètement. Plus précisément, j'adapte à ce cadre la dualité de Tannaka-Krein, originellement développée pour les groupes compacts.
Ensuite, un aspect central de mes travaux est la tâche de la classification des représentations unitaires d'un groupe donné. Dans un travail collaboratif, nous introduisons la notion de dissociation, inspirée du cas oligomorphe. Nous avons pu généraliser des théorèmes de classification et de rigidité des représentations unitaires aux groupes dissociés. Entre autres, nous avons classifié les représentations unitaires des groupes des isométries des espaces d'Urysohn. Nous étudions aussi les conséquences de la dissociation en théorie ergodique, où cette propriété admet une reformulation équivalente.
Enfin, je définis un analogue des groupes universels de Burger-Mozes. Agissant sur l'arbre régulier de valence infinie dénombrable, ces groupes sont obtenus en prescrivant une action locale. Sous l'hypothèse que cette dernière est 2-transitive et oligomorphe, je classifie les représentations irréductibles des groupes universels.