Mikael de la Salle : Peut-on calculer le rayon spectral d'une marche aléatoire?
Salle 112
Considérons une marche aléatoire simple et paresseuse sur un graphe régulier. La suite des probabilités de retour en 0 en temps n est sous-multiplicative, donc elle se comporte comme $\rho^n$ pour un certain nombre $\rho \in [0,1]$, appelé le rayon spectral. Mais peut-on estimer $\rho$ à partir des boules finies dans le graphe ? En toute généralité, c'est bien sûr impossible : il suffit de considérer des graphes finis ($\rho=1$) sans petit cycle.
Par contre, Breuillard a suggéré que ça pouvait être possible pour certains graphes : les graphes de Caley de groupes libres. C'est probablement aussi le cas pour les groupes hyperboliques ou les groupes linéaires. Autrement dit, le rayon spectral serait continu, pour la topologie de Chabauty, en restrictions aux groupes limites/groupes hyperboliques/groupes linéaires. Ozawa vient de le prouver pour les groupes libres. J'expliquerai la remarquable preuve. Il y aura des algèbres d'opérateurs, de la dynamique topologique et borélienne, des (gros) corps ordonnés et un peu de théorie des nombres (valuations).
https://arxiv.org/abs/2604.22412