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SUMMARY:Étude des équations de Schrödinger sur les graphes métriques
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DESCRIPTION:Speakers: Elio Durand-Simonnet\n\nComposition du jury :Mme Col
 ette DE COSTER\, Rapporteure\, Université Polytechnique Hauts-de-FranceM.
  Simone DOVETTA\, Rapporteur\, Politecnico di TorinoM. Mihai MARIS\, Exami
 nateur\, Université de ToulouseM. Louis JEANJEAN\, Examinateur\, Universi
 té Marie et Louis PasteurM. Stefan LE COZ\, Directeur de thèse\, Univers
 ité de ToulouseM. Romain DUBOSCQ\, Co-directeur de thèse\, INSA Toulouse
 M. Julien ROYER\, Université de Toulouse\nRésumé :\nL'équation de Schr
 ödinger est un modèle fondamental décrivant l'évolution des fonctions 
 d'onde en mécanique quantique. Cette thèse explore plusieurs questions l
 iées à cette équation lorsqu'elle est posée sur des graphes métriques
 \, c'est-à-dire des réseaux d'arêtes unidimensionnelles reliées entre 
 elles au niveau des sommets. Au cours des quinze dernières années\, ce d
 omaine de recherche a suscité un intérêt considérable\, car il offre u
 n cadre naturel pour modéliser la propagation des ondes dans des système
 s physiques minces et ramifiés\, tout en posant des défis analytiques qu
 i diffèrent sensiblement de ceux rencontrés sur la droite réelle.\nDans
  le Chapitre 2\, nous étudions l'équation de Schrödinger non linéaire 
 focalisante sur un graphe tadpole doté d'une condition de sommet de type 
 Delta répulsive. Nous établissons d'abord l'existence d'états fondament
 aux d'action sur une gamme de fréquence et de longueur. Nous analysons en
 suite la structure détaillée des états stationnaires non négatifs. Enf
 in\, nous complétons cette étude par des simulations numériques.\nDans 
 les Chapitres 3 et 4\, nous étudions l'équation de Schrödinger non lin
 éaire défocalisante sur des graphes métriques généraux. Nous dérivon
 s un critère optimal garantissant l'existence d'états fondamentaux de l'
 action. Nous prouvons ensuite l'existence d'états fondamentaux de l'éner
 gie dans différents régimes de masse et de non-linéarité\, obtenant de
 s résultats plus précis dans le cas de conditions aux sommets de type De
 lta. Dans ce dernier cadre\, nous montrons en outre que l'état fondamenta
 l bifurque du vecteur propre associé à la borne inférieure du spectre d
 e l'opérateur hamiltonien. Enfin\, nous établissons un résultat de mult
 iplicité des solutions stationnaires\, tantdans le cadre de fréquence fi
 xe que dans celui de masse fixe.\nDans le Chapitre 5\, nous analysons le p
 hénomène de dispersion sur l'équation libre de Schrödinger perturbée 
 par un réseau à courte portée de potentiels de Dirac. Nous établissons
  un principe d'absorption limite ainsi qu'une analyse détaillée des fonc
 tions de Jost associées à l'opérateur Hamiltonien. Enfin\, nous en déd
 uisons une estimation dispersive pour le propagateur de Schrödinger assoc
 ié. \n\nhttps://indico.math.cnrs.fr/event/16610/
LOCATION:Amphithéâtre Laurent Schwartz\, bâtiment 1R3 (Institut de Math
 ématiques de Toulouse)
URL:https://indico.math.cnrs.fr/event/16610/
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