Coincidence des corps de division de courbes elliptiques sur des corps de nombres
par
Salle Pellos
1R2
Soit $E/F$ une courbe elliptique sur un corps de nombres. Le groupe absolu de Galois de $F$ agit sur les points de $m$-torsion de la courbe, donnant une représentation galoisienne $\rho_{E,m}$ du groupe absolu de Galois dans $\mathrm{GL}_2(Z/mZ)$. Le groupe de Galois de l'extension $F(E[m])/F$, engendrée par les coordonnées des points d'ordre $m$ de la courbe, est isomorphe à l'image de $\rho_{E,m}$. Un résultat de Serre de 1972 et d'autres plus récents montrent que cette représentation est surjective pour presque toutes les courbes elliptiques définies sur $F$. Dans ce travail, on s'intéresse aux cas d'enchevêtrements, i.e. de non-surjectivité de $\rho_{E,m}$ avec $m$ non premier. On se focalise sur le cas extrême de la coïncidence de deux corps de division : $F(E[m])=F(E[n])$. Cette question a déjà été étudiée pour $F$ étant le corps des rationnels. Ici, on donne des résultats sur des corps de nombres généraux.