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SUMMARY:Jean-Luc Thiffeault (University of Wisconsin-Madison) Parallel par
 king in a forest: lattice geometry of a turning body
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DESCRIPTION:Picture a long rod moving among the posts of a square array\, 
 like a railcar in a forest of point obstacles. Can it turn around? A short
  rod simply spins in place\, and\, more surprisingly\, an infinitely thin 
 needle of any length can always turn\, thanks to a classical construction 
 of Kakeya and Besicovitch. But give the rod some width and the answer beco
 mes sharp: for each length there is a critical width above which the rod i
 s stuck facing one way. I will explain how this question\, which arose fro
 m simulations of particles in porous media\, turns into lattice geometry. 
 Whether a body can turn comes down to whether it fits somewhere among the 
 posts at every angle\, a question about covering the plane with copies of 
 the body. For an ellipse this gives the turnaround curve exactly\, with pi
 eces labelled by Farey fractions\; a rectangle follows a staircase with ra
 mps. Exact computations of the configuration space show how a long body a
 ctually turns: by parallel parking along the lattice directions. Joint wo
 rk with Sophia Wiedmann and Robert Argus.\n \n---------------------------
 \nTitre : Comment se retourner dans une forêt : géométrie des réseaux 
 et rotation d'un corps rigide\n \nRésumé:\nImaginons une longue tige qu
 i se déplace parmi les poteaux d'un réseau carré\, comme un wagon de tr
 ain dans une forêt d'obstacles ponctuels. Peut-elle faire demi-tour ? Une
  tige courte tourne simplement sur place et\, plus surprenant\, une aiguil
 le infiniment fine de n'importe quelle longueur peut toujourstourner\, gr
 âce à une construction classique de Kakeya et Besicovitch. Mais donnons 
 une épaisseur à la tige\, et la réponse devient nette : pour chaque lon
 gueur\, il existe une largeur critique au-delà de laquelle la tige reste 
 bloquée dans une seule orientation. J'expliquerai comment cette question\
 , issue de simulations de particules dans des milieux poreux\, se ramène 
 à la géométrie des réseaux. Savoir si un corps peut tourner revient à
  savoir s'il trouve sa place quelque part parmi les poteaux\, à chaque a
 ngle : une question de recouvrement du plan par des copies du corps. Pour
  une ellipse\, on obtient ainsi exactement la courbe de demi-tour\, dont 
 les morceaux sont indexés par des fractions de Farey \; un rectangle sui
 t un escalier avec des rampes. Des calculs exacts de l'espace des configu
 rations montrent comment un corps long tourne réellement : en faisant de
 s créneaux le long des directions du réseau. Travail en collaboration a
 vec Sophia Wiedmann et Robert Argus.\n\nhttps://indico.math.cnrs.fr/event/
 16475/
URL:https://indico.math.cnrs.fr/event/16475/
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