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SUMMARY:François Thilmany - Partenaires de ping-pong pour les sous-groupe
 s finis des groupes linéaires
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DESCRIPTION:Dans son article sur les sous-groupes libres des groupes liné
 aires\, Tits démontre la célèbre alternative : un groupe linéaire est 
 soit virtuellement résoluble\, soit contient un sous-groupe libre non-ab
 élien. Ce résultat frappant de Tits a depuis été généralisé et appl
 iqué de multiples façons. \n\n \nLa question suivante\, posée par de 
 la Harpe et ses collaborateurs\, demeure toutefois ouverte. Soit $G$ un gr
 oupe de Lie semi-simple sans facteurs compacts et de centre trivial\, et s
 oit $\\Gamma$ un sous-groupe Zariski-dense de $G$. Étant donné un sous-e
 nsemble fini $F$ de $G$\, est-il toujours possible de trouver un élément
  $\\gamma \\in \\Gamma$ tel que\, pour tout $h \\in F$\, le sous-groupe en
 gendré par $h$ et $\\gamma$ soit librement engendré ? (Dans ce cas\, on 
 dit que $h$ et $\\gamma$ sont des partenaires de ping-pong.)\n \nDans cet
  exposé\, nous aborderons une variante du problème de de la Harpe\, où 
 $F$ est un ensemble fini de sous-groupes finis $H_i$ de $G$. En affinant s
 oigneusement les principales étapes de la démonstration de Tits (que nou
 s rappellerons)\, nous donnerons des conditions suffisantes pour l'existen
 ce de partenaires de ping-pong pour les $H_i$ dans tout sous-groupe $\\Gam
 ma$ Zariski-dense. \nNous montrerons ensuite que ces conditions sont sati
 sfaites notamment pour tout produit de copies de $\\mathrm{SL}_n$ ($n>1$) 
 sur une $\\mathbb{R}$-algèbres à division. \n \nL'existence de tels pr
 oduits libres a des applications dans la théorie des anneaux de groupes f
 inis\, qui seront évoquées brièvement. \n \nTravail en collaboration 
 avec G. Janssens et D. Temmerman. \n\n\nhttps://indico.math.cnrs.fr/event
 /16389/
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