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SUMMARY:Autour de la persistance de processus auto-régressifs d'ordre 1
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UID:indico-event-16371@indico.math.cnrs.fr
DESCRIPTION:Speakers: Titouan Donnart (Université de Lille)\n\nUn process
 us auto-régressif d'ordre 1 (AR(1)) est défini par une relation de récu
 rrence faisant intervenir un paramètre réel \\theta et des variables al
 éatoires appelées "innovations". Le problème que l'on regarde est celui
  de la persistance\, c'est-à-dire la probabilité p_n que le processus pe
 rsiste à rester positif ou nul de l'instant 0 jusqu'à l'instant n. Pour 
 une marche aléatoire simple (\\theta = 1)\, le théorème de Sparre Ander
 sen (1954) donne le comportement exact de cette probabilité sous certaine
 s hypothèses et montre que la suite est complètement monotone (elle s'é
 crit sous la forme de moments d'une mesure de probabilité sur [0\,1]). L'
 objectif est de généraliser le plus possible ces résultats dans le cadr
 e des processus AR(1). Pour ceux-ci des résultats plus récents (Hinrichs
 \, Kolb et Wachtel\, 2020) montrent que la probabilité de persistance dé
 croît asymptotiquement de manière géométrique. Cette approche\, comme 
 d'autres\, traduit ce problème probabiliste en un problème de théorie s
 pectrale (il faut comprendre la distribution des valeurs propres de certai
 ns opérateurs) et d'analyse complexe. Dans un papier (actuellement en pr
 é-publication) réalisé avec mon directeur de thèse Thomas Simon\, nous
  avons démontré quelques résultats lorsque le paramètre \\theta est po
 sitif : - Si les innovations ont une densité log-concave\, alors la suite
  p_n est log-convexe\, ce qui est une condition nécessaire mais pas suffi
 sante pour la complète monotonie.- Si les innovations suivent une loi de 
 Laplace\, alors la suite p_n est complètement monotone et on a une écrit
 ure semi-explicite de la mesure de probabilité sous-jacente.Je terminerai
  (si le temps le permet) par quelques questions encore ouvertes qui me sem
 blent intéressantes.\n\nhttps://indico.math.cnrs.fr/event/16371/
LOCATION:E2 1180 (Tours)
URL:https://indico.math.cnrs.fr/event/16371/
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