Élements réguliers et marches aléatoires dans Sp_4(Q_p)
par
112
ICJ
Une matrice dans SL_n(R) est dite régulière si ses valeurs propres sont toutes réelles et de valeurs absolues distinctes. Dans SL_2(R), ce sont les isométries loxodromiques du plan hyperbolique. Un théorème de Benoist-Labourie affirme qu'un sous-groupe Zariski-dense de SL_n(R) contient toujours des isométries loxodromiques.
Sur un corps non-archimédien, comme le corps des nombres p-adiques, la situation est encore mal comprise. Je m'intéresserai dans cet exposé aux sous-groupes du groupe symplectique Sp_4(Q_p) (ou plus généralement un groupe agissant sur un immeuble de rang 2). Dans ce cadre, la Zariski-densité ne suffit plus, et je donnerai une condition géométrique pour obtenir l'existence d'éléments réguliers. La preuve repose sur des outils ergodiques et l'analyse des marches aléatoires sur ce groupe. C'est un travail en commun avec Corentin Le Bars.