Inégalités de Payne–Pólya–Weinberger sur des variétés fermées
par
1180 (Bât. E2)
Tours
L’inégalité classique de Payne–Pólya–Weinberger fournit une borne supérieure universelle pour le rapport des valeurs propres du Laplacien sur un domaine euclidien, avec condition de Dirichlet au bord. Sur une variété riemannienne fermée, ce rapport n’est en général pas borné, même au sein d’une classe conforme.
Dans un premier temps, j’aborderai cette problématique dans un cadre d’inégalités plus larges, intimement lié au programme A–B d’Hebey sur les inégalités de Sobolev. J’expliquerai ensuite comment cette approche conduit naturellement à l’étude de la fonctionnelle du rapport des valeurs propres pour le Laplacien conforme. À titre d'exemple, je présenterai une inégalité analogue au célèbre résultat d’El Soufi et Ilias, caractérisée dans le cas d’égalité par des immersions minimales dans la sphère par les premières fonctions propres du Laplacien via la métrique de Yamabe.
Enfin, à la lumière d'un travail récent de Humbert, Petrides et Premoselli, j’évoquerai une possible extension de l’inégalité PPW à l’ensemble des opérateurs de GJMS, ainsi que leurs liens avec les problèmes de Q-courbure associés.
Ces derniers résultats font partie d'un travail en cours avec Erwann Aubry et Romain Petrides.