Dans cet exposé, nous présenterons le théorème de Deuring, qui décrit la structure de l’anneau des endomorphismes d’une courbe elliptique.
Cette classification met en évidence la distinction entre courbes elliptiques ordinaires et supersingulières. Ces dernières jouent un rôle particulier en cryptographie, puisque les protocoles basés sur les isogénies ne sont considérés sûrs que lorsqu’ils reposent sur des courbes supersingulières.
Au cours de l’exposé, nous rappellerons les notions fondamentales de courbes elliptiques et d’isogénies, mais aussi celles d’ordres, de multiplication complexe et d’algèbres de quaternions.
Nous donnerons des exemples concrets, expliquerons comment déterminer si une courbe elliptique est ordinaire ou supersingulière, et esquisserons enfin quelques éléments de la preuve du théorème de Deuring.