Sur la dynamique des champs de Reeb
par
Amphi Schwartz
Rangueil
L'étude des champs de vecteurs ``de Reeb" englobe plusieurs situations
classiques comme celle du flot géodésique sur une variété riemannienne ou du
problème des trois corps en mécanique céleste. Dès les années 1890, Poincaré
s'appuya sur l'existence de sections, maintenant dénommées ``de
Poincaré-Birkhoff", pour étudier les propriétés dynamiques des flots de
champs de vecteurs, comme l'existence d'orbites périodiques. L'importation
des techniques de courbes pseudo-holomorphes en géométrie de contact ont
récemment permis de montrer l'existence générique de telles sections pour
les champs de Reeb sur les variétés de dimension trois et d'en déduire de
nouveaux résultats : sur une variété close de dimension trois, tout champ de
Reeb non dégénéré a soit deux, soit une infinité d'orbites périodiques, et
deux orbites ne sont possibles que sur la sphère ou un espace lenticulaire.
Dans cet exposé on présentera un panorama des questions et outils impliqués
dans cette nouvelle déclinaison du slogan ``trois implique chaos".