Les faisceaux pervers équivariants sur les groupes algébriques réductifs et leurs algèbres de Lie sont des objets fondamentaux en théorie géométrique des représentations. Ils ont été utilisés pour étudier les représentations des algèbres de Hecke et des groupes quantiques, ainsi que les caractères des groupes finis de type de Lie. Plus récemment, les faisceaux pervers sur les algèbres de Lie graduées ont suscité de nouveaux intérêts. De nouvelles structures, telles que la théorie des invariants et les groupes de réflexions complexes, interviennent, et des liens avec les espaces symétriques holomorphes et les groupes p-adiques sont découverts.
Dans cet exposé, je commencerai par un survol des résultats classiques sur les faisceaux-caractères sur les groupes réductifs et leurs algèbres de Lie, principalement établis par G. Lusztig dans les années 1980 et 1990. Dans la seconde partie, j’expliquerai le cas des algèbres de Lie munies d'une graduation cyclique. Les résultats principaux sont une caractérisation des faisceaux-caractères cuspidaux et une construction uniforme de ceux-ci via le foncteur des cycles proches. Il s'agit d'un travail récent en collaboration avec Tsai, Vilonen et Xue (arXiv:2409.04030).