Mini-Cours – Stabilité

• Miguel Rodrigues (IRMAR, Université de Rennes)

Room: Amphi Lebesgue Le but est d'introduire quelques éléments de théorie spectrale pour l'étude des équations linéaires, avec un focus particulier sur les linéarisés autour des ondes progressives. On y discutera en particulier de dichotomie exponentielle et de fonctions d'Evans.

Approximation visqueuse de systèmes hyperboliques triangulaires en 1D avec viscosité variable

• Boris Haspot (Ceremade, Université Paris Dauphine)

Room: Amphi Lebesgue Dans cette exposé on étudiera la limite visqueuse pour des systèmes hyperboliques 2*2 triangulaires avec donnée initiale petite dans $TV(\mathbb R)$. On montrera en particulier que l'on peut obtenir des estimations uniformes dans $TV$ pour les approximations visqueuses en s'inspirant des techniques de Bianchini-Bressan à savoir décomposer le vecteur $u_x$ comme somme d'ondes progressives.

Mini-Cours – Stabilité

• Miguel Rodrigues (IRMAR, Université de Rennes)

Room: Amphi Lebesgue Le but est d'introduire quelques éléments de théorie spectrale pour l'étude des équations linéaires, avec un focus particulier sur les linéarisés autour des ondes progressives. On y discutera en particulier de dichotomie exponentielle et de fonctions d'Evans.

Analyse numérique d'équations de Hamilton-Jacobi avec contrainte : des exemples

• Hélène Hivert (Centre Inria de l’Université de Rennes)

Room: Amphi Lebesgue Je présenterai quelques résultats généraux sur les équations de Hamilton-Jacobi, qui me permettront d'introduire les spécificités de l'analyse numérique de ces équations. L'exposé portera en particulier sur les conséquences de l'analyse des problèmes continus sur le choix des discrétisations et les preuves de convergence. J'illustrerai mes propos par deux exemples de conception et d'analyse de schémas numériques. Le premier pour des équations de Hamilton-Jacobi supplémentées d'une contrainte qui fixe le minimum de la solution [Gaudeul, H. 2024]. Le second, qui est un travail en cours avec T. Laidin (Brest), pour un problème couplé entre la solution et son minimum.

Limite toit rigide et temps dispersif

• Benjamin Melinand (Ceremade, Université Paris Dauphine)

Room: Amphi Lebesgue Dans cet exposé nous expliquerons comment il est possible d'améliorer le temps d’existence (au delà du temps hyperbolique) de certains systèmes dérivant des équations de vagues. Il s’agira de voir comment ces méthodes sont perturbées quand la dispersion est faible et de discuter le temps « optimal » que l’on aimerait au moins obtenir. On fera aussi le lien avec la limite toit rigide.

Mini-Cours – Hyperbolique

• Sylvie Benzoni-Gavage (Institut Camille Jordan, Université de Lyon 1)

Room: Amphi Lebesgue L'idée est de faire un survol des notions fondamentales et de quelques résultats marquants dans la théorie des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques, avec l'objectif de développer une culture commune à ce sujet au sein du projet HEAD. La première séance sera consacrée aux systèmes non-linéaires monodimensionnels, en commençant par le cas scalaire. La seconde sera plutôt linéaire et multidimensionnelle.

Problème ouvert: (In)stabilité des sauts hydrauliques sur les pentes (dé)croissantes

• Nina Aguillon (LJLL, Sorbonne Université)

Room: Amphi Lebesgue Dans un travail récent avec N. Boulos El Makary, E. Audusse et M. Parisot, nous avons classifié toutes les solutions stationnaires des équations de Saint Venant pour différentes topographies. Il est apparu que même dans le cas classique d'un fond "bosse" deux solutions peuvent coexister pour un même jeu de conditions aux bords, l'une avec seulement un saut hydraulique (ou choc stationnaire) à droite de la bosse et l'autre avec un saut hydraulique à gauche de la bosse. Des expérimentations numériques ont montré que toutes les solutions avec une discontinuité sur pente croissante semblent instables, tandis que celles qui ne contiennent qu'un seul saut sur pente décroissante semblent stables. On trouve des preuves expérimentales et un début d'explication dans les travaux de Baines et Whitehead (2003). Je présenterai une piste de construction de solution pour démontrer l'instabilité.

Mini-Cours – Hyperbolique

• Sylvie Benzoni-Gavage (Institut Camille Jordan, Université de Lyon 1)

Room: Amphi Lebesgue L'idée est de faire un survol des notions fondamentales et de quelques résultats marquants dans la théorie des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques, avec l'objectif de développer une culture commune à ce sujet au sein du projet HEAD. La première séance sera consacrée aux systèmes non-linéaires monodimensionnels, en commençant par le cas scalaire. La seconde sera plutôt linéaire et multidimensionnelle.

Stabilité de solutions stationnaires discontinues de systèmes hyperboliques avec terme source

• Nicolas Seguin (Antenne Inria de l'Université de Montpellier)

Room: Amphi Lebesgue Le « lac au repos » fait référence à des solutions stationnaires des équations de Saint-Venant, décrivant une surface de l'eau plate et avec une vitesse horizontale nulle. Dans le cas d'une bathymétrie discontinue, cette caractérisation perdure, alors qu'il n'existe pas de définition consensuelle des solutions faibles pour les équations de Saint-Venant. Il y a quelques années, il a cependant été montré qu'un principe de comparaison existe entre ces solutions stationnaires et toute solution instationnaire, aboutissant à un résultat de stabilité du lac au repos. Ce résultat reste valable au niveau discret. Une question en suspens est d'obtenir une stabilité asymptotique de ces solutions, lorsqu'un effet dissipatif comme la friction est ajouté.

Mini-Cours – Limites singulières

• Vincent Duchêne (CNRS & Université de Rennes)

Room: Amphi Lebesgue On discutera de quelques principes et résultats marquants autour de limites singulières de systèmes hyperboliques. Le premier exposé sera centré sur les limites de relaxation, le second sur les limites de type "bas Mach".

Mini-Cours – Schémas numériques

• Benjamin Boutin (IRMAR, Université de Rennes)

Room: Amphi Lebesgue Il sera question de l'analyse des schémas de différences finies linéaires sous l'angle de leur relation de dispersion discrète. Le premier cours se concentrera sur le problème sans bord et le second abordera les conditions de bords discrètes et les fonctions de stabilité associées.

Mini-Cours – Limites singulières

• Vincent Duchêne (CNRS & Université de Rennes 1)

Room: Amphi Lebesgue On discutera de quelques principes et résultats marquants autour de limites singulières de systèmes hyperboliques. Le premier exposé sera centré sur les limites de relaxation, le second sur les limites de type "bas Mach".

Mini-Cours – Schémas numériques

• Benjamin Boutin (IRMAR, Université de Rennes)

Room: Amphi Lebesgue Il sera question de l'analyse des schémas de différences finies linéaires sous l'angle de leur relation de dispersion discrète. Le premier cours se concentrera sur le problème sans bord et le second abordera les conditions de bords discrètes et les fonctions de stabilité associées.

Chocs dans les équations hyperboliques et dispersives

• Sergey Gavrilyuk (Aix Marseille Université)

Room: Amphi Lebesgue Je présenterai quelques idées sur la formulation des relations de Rankine-Hugoniot (RH) pour les équations hyperboliques non-conservatives des écoulements d'eau peu profonde cisaillés, ainsi qu'une généralisation possible des relations RH pour la description des solutions « discontinues » des équations dispersives (BBM, équations de Serre-Green-Naghdi, ...).

Mini-Cours – Chocs dispersifs et intégrabilité

• Louise Gassot (CNRS & Université de Rennes)

Room: Amphi Lebesgue Ce mini-cours portera sur l’étude de chocs dispersifs dans le cas d’équations dispersives intégrables. On détaillera en particulier comment obtenir un développement asymptotique du choc dispersif pour l’équation de Benjamin-Ono. L’outil principal est l’existence d’une formule explicite établie par Patrick Gérard pour des données initiales très générales. On comparera également les résultats et méthodes à l’équation de Korteweg-de Vries.

Approximation numérique de l’equation de Benjamin-Ono via une formule explicite

• Yvonne Alama-Bronsard (NSF, IRMAR, Université de Rennes)

Room: Amphi Lebesgue On introduira une nouvelle approche pour la conception et l'analyse de schémas pour certaines EDP intégrables non linéaires et non locales, incluant l'équation de Benjamin-Ono. Les schémas obtenus s’avèrent beaucoup plus précis et efficaces pour simuler en temps long ces EDP intégrables ainsi que leurs quantités conservées. Ces schémas sont basés sur des formules explicites, qui sont apparues récemment dans la théorie des équations intégrables non linéaires. Ce résultat ouvre des portes à l’étude du comportement asymptotique des solutions, tel que leur résolution en solitons ou les limites à faible dispersion.

On the Stability of Traveling Waves in Plasma Physics and Fluid Mechanics

• Changzhen Sun (CNRS & LMB, Besançon)

Room: Amphi Lebesgue In this talk, we will discuss the stability of non-constant equilibrium solutions, such as periodic and solitary traveling waves, in certain conservative models arising from plasma physics and fluid mechanics, which often exhibit dispersive effects. Our primary focus will be on the long-term dynamics of periodic waves in one-dimensional equations (such as KdV and Whitham) and the transverse asymptotic stability of one-dimensional traveling waves in higher-dimensional systems (such as Euler-Poisson and water waves). If time permits, we will also mention other interesting related questions.

Mini-Cours – Chocs dispersifs et intégrabilité

• Louise Gassot (CNRS & Université de Rennes)

Room: Amphi Lebesgue Ce mini-cours portera sur l’étude de chocs dispersifs dans le cas d’équations dispersives intégrables. On détaillera en particulier comment obtenir un développement asymptotique du choc dispersif pour l’équation de Benjamin-Ono. L’outil principal est l’existence d’une formule explicite établie par Patrick Gérard pour des données initiales très générales. On comparera également les résultats et méthodes à l’équation de Korteweg-de Vries.