Cet exposé porte sur un travail commencé avec Lucía Lopez de Medrano et Jean-Jacques Risler il y a longtemps et continué avec Lucía un peu plus récemment. À l'origine, il s'agit d'étudier la courbure (logarithmique) totale de variétés algébriques réelles.
Cependant, mon objectif pour cet exposé est uniquement de présenter le patchwork combinatoire de Viro dans sa version tropicale et une partie du calcul de la courbure pour les hypersurfaces tropicales réelles non-singulières.
Le patchwork, dans sa version la plus simple, est un procédé combinatoire qui produit, à partir d'une triangulation (régulière) à sommets entiers et d'une distribution de signes sur ceux-ci, des hypersurfaces tropicales réelles. Celles-ci sont affines par morceaux et, d'après le théorème de Viro, elles sont limites d'images logarithmiques d'hypersurfaces algébriques réelles.
La courbure des variétés polyédrales décrites est constante et réalise une majoration optimale de la courbure des variétés algébriques réelles correspondantes. Il est possible d'illustrer géométriquement la courbure en un sommet d'une hypersurface tropicale réelle.
Le patchwork permet de construire des familles d'hypersurfaces algébriques réelles dont la courbure tend vers cette borne supérieure.
