La compréhension des équations de Fokker-Plank-Kolmogorov (FPK) linéaires est un pré-requis
pour aborder les modèles de Boltzmann et Landau, modélisant l’évolution des particules en interaction. Elles font intervenir un opérateur de transport et un opérateur elliptique en la vélocité. Il s’avère que la théorie des solutions faibles était incomplète, que ce soit leur définition, leur existence, leur régularité et leur unicité. Dans un travail en commun avec C. Imbert et L. Niebel, nous proposons une théorie complète qui permet de traiter les équations FPK sans hypothèses de régularité sur les coefficients autre que celle requises pour assurer la coercivité de la partie elliptique. Pour ce faire, nous introduisons des familles d’espaces cinétiques tenant compte de l’opérateur de transport et du laplacien (fractionnaire) et établissons des théorèmes de transfert à la Bouchut et de plongements à la Lions qui permettent d’obtenir la régularité des fonctions (distributions) en les variables de temps et de position à partir de leur régularité en la vélocité et le long du transport.
Pour aborder ce sujet, on regardera justement les résultats antérieurs de Lions (cadre parabolique, sans transport) et de Bouchut (cadre Fokker-Planck avec transport et le Laplacien pour les solutions fortes.)