Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux pavages d'une surface donnée par des triangles ou par des carrés avec des contraintes sur certains sommets. Nous expliquerons le lien entre le comptage de tels pavages et les volumes des espaces de modules de surfaces plates avec singularités coniques. Dans le cas des surfaces de genre zero, des formules récursives permettant le calcul explicit de l'asymptote du nombre des pavages satisfaisant une famille infinie de contraintes ont été prouvées. Nous discuterons des problèmes qui sont encore ouverts et des pistes potentiels pour s'attaquer à ces problèmes.