Les ensembles auto-affines forment une classe importante d'ensembles fractals, dont les ensembles auto-similaires constituent un cas particulier. Il est donc naturel d'étudier leur géométrie et en particulier de chercher une formule pour la dimension des ensembles auto-affines qui généralise la formule connue pour les ensembles auto-similaires. Malheureusement, comme l'a fait remarquer K. Falconer, la situation est beaucoup plus compliquée que dans le cas autosimilaire.
Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle approche pour étudier les fonctions zêtas associées à une classe simple (mais non triviale) d'ensembles fractals auto-affines et discrets du plan. En utilisant en outre le résultat classique de Baker sur les minorations des formes linéaires en logarithmes, je donnerai comme application une formule explicite pour la dimension fractale des ensembles auto-affines de cette classe.