Dans le cadre continu, la mesure gaussienne est un objet central, puisqu'elle satisfait à la fois une inégalité de Poincaré et une inégalité de Sobolev logarithmique. En particulier, le théorème de contraction de Caffarelli dit que l'application de transport optimal poussant en avant la gaussienne vers une mesure qui est plus log-concave qu'elle est 1-Lipschitz, ce qui nous permet d'étendre les inégalités gaussiennes à ces mesures.
Pouvons-nous prouver un résultat analogue dans le cadre discret si nous remplaçons la gaussienne par la distribution de Poisson ? Le type de mesures qui peuvent émerger en tant que poussé en avant d'une distribution discrète est très limité ; en outre, l'absence d'une règle de la chaîne dans le cadre discret entrave l'argument utilisé dans le cadre continu. Dans la première partie de l'exposé, je montrerai comment ces obstacles peuvent être surmontés grâce à une preuve stochastique basée sur un processus qui minimise l'entropie, construit par Klartag et Lehec, que nous appelons le processus de Poisson-Föllmer. Dans la deuxième partie de l'exposé, j'utiliserai également ce processus pour donner un résultat de stabilité pour l'inégalité de Wu, l'analogue poissonnien de l'inégalité de Sobolev logarithmique Gaussienne.