Dans cet exposé, on se placera dans le cadre de la turbulence d'onde, c'est-à-dire qu'on résoudra des EDPs dispersives à données aléatoires petites. L'objectif sera de dériver des équations effectives régissant la statistique des solutions des dites EDPs.
Partie 1 : L'équation cinétique des ondes pour l'équation de Schrödinger cubique, mise en contexte et état de l'art
Dans un premier temps, on présentera l'évolution statistique de solutions de l'équation de Schrödinger dont la donnée initiale est une gaussienne. Cette évolution est régie par une équation dite cinétique de part ses similarités avec l'équation de Boltzmann. On présentera le cadre dans lequel cette équation cinétique est dérivée; on insistera sur les invariances de l'équation de Schrödinger sans lesquelles une telle dérivation est impossible. Au cours de l'exposé, on donnera un sens aux notions de résonances et quasi-résonances dans ce contexte, et on verra que ce sont ces dernières qui entraînent un comportement cinétique de l'équation effective. Cet exposé s'appuie sur une série de travaux de Deng et Hani.
Partie 2 : Résonances triviales pour un système d'équations de Klein-Gordon et applications statistiques
Dans un second temps, on donnera un exemple d'équation n'ayant pas les mêmes invariances que l'équation de Schrödinger, et on verra que dans cet exemple, les résonances exactes prennent (toujours) le pas sur les quasi-résonances, si bien que la dynamique effective de l'évolution statistique n'est pas cinétique. Pour autant, elle n'est pas linéaire (et encore moins triviale). On présentera le problème ainsi que les idées intervenant dans la dérivation de la dynamique effective. On donnera quelques éléments de preuve: en particulier, on décrira la représentation des solutions de l'équation initiale sous forme diagrammatique. Cet exposé s'appuie sur un travail en cours avec Annalaura Stingo (X) et Arthur Touati (IHES).