Cette thèse porte sur les processus de Hawkes, qui sont des processus stochastiques à temps continu dont l’intensité est aléatoire et dépend de l’historique complet du processus. Ces processus ont été introduits par Hawkes (1971) pour modéliser une dynamique auto-excitante. Une généralisation de ces processus consiste à intégrer un effet d’auto-inhibition, pour laquelle la littérature est plus réduite et souffre notamment de l’absence d’un critère nécessaire et suffisant d’existence d’une version stationnaire prenant véritablement en compte l’effet inhibiteur du modèle.
Dans le deuxième chapitre, nous effectuons une analyse numérique portant sur la simulation de la solution d’une équation de renouvellement non-linéaire, ayant un lien fort avec l’espérance de l’intensité conditionnelle d’un processus de Hawkes. En outre, nous présentons des exemples de simulation de ces processus dans des cadres ne respectant pas le critère mentionné précédemment, illustrant ainsi la nature restrictive de ce dernier.
Dans la suite, nous nous concentrons plus spécifiquement sur une version discrète des processus de Hawkes avec inhibition. Ce modèle se présente sous la forme d’un processus auto-régressif de Poisson, où le paramètre est aléatoire et dépend des réalisations passées du processus. Nous permettons à ces paramètres de prendre des valeurs négatives pour modéliser un effet inhibiteur.
Le troisième chapitre porte sur le cas où la mémoire de ce processus est de taille 2. Dans ce cadre, nous classifions intégralement le comportement asymptotique de ce processus en fonction des paramètres du modèle, à l’exception des cas frontières. Pour mener à bien ces résultats, nous utilisons le formalisme des chaines de Markov tel que décrit par Douc, Moulines, Priouret (2018), et nous servons de théorèmes type critère de Foster (1953) via des fonctions de Lyapunov. Nous tirons également parti de la comparaison entre le comportement de ce processus avec le comportement des solutions d’une suite récurrente linéaire naturellement associée au modèle.
Dans le quatrième chapitre, nous étendons notre étude au cas où la mémoire du processus est de taille 3, en donnant quelques résultats dans le cas général d’une mémoire de taille arbitrairement grande. Nous complétons notre étude théorique par des simulations numériques permettant d’étayer nos conjectures et donner une intuition sur le comportement en temps long de ce processus.
Le dernier chapitre est un travail en cours autour des cas critiques du processus étudié. On utilise notamment des outils d’approximation de diffusions issus du livre d’Ethier et Kurtz (1986). Nous montrons qu’après un changement adéquat d’échelle et de temps, le processus converge vers une diffusion dirigée par une EDS que nous explicitons.