Sur l'inclusion différentielle ∂xu(x,y)∂yu(x,y)=0 et son lien avec l'équation eikonale

par Benoit Merlet (Université de Lille)

lundi 25 nov. 2024, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Amphi Schwartz

On cherche à caractériser les fonctions $u:(0,1)\times (0,1)\to \mathbb{R}$ qui sont soit de la forme, $u(x,y)=v(x)$, soit de la forme $u(x,y)=w(y)$.  Nous appelons ces fonctions les fonctions 1D. De manière équivalente, quand cela un sens, $u$ vérifie l'inclusion différentielle  ${\partial }_{x}u{\partial }_{y}u=0$.

Nous introduisons une famille d'énergies qui pénalisent la contrainte ${\partial }_{x}u{\partial }_{y}u=0$ et nous nous intéressons à l'implication ``Si l'énergie est petite alors $u$ est proche d'une fonction 1D". Nous étudions surtout les singularités des fonctions d'énergie finie. Enfin, nous décrivons les fonctions Lipschitzienne d'énergie finie, faisant un lien avec l'équation eikonale.

Ces recherches sont en collaboration avec Michael Goldman.