Cette thèse aborde l'analyse de la stabilité des profils de chocs totalement discrets pour les systèmes de lois de conservation. Ces profils correspondent à l’approximation d'ondes progressives discontinues par des schémas aux différences finies conservatifs. De telles solutions discontinues apparaissent naturellement dans l'étude des systèmes de lois de conservation qui peuvent modéliser de nombreuses situations physiques comme par exemple la dynamique des gaz.
L'étude des profils de choc totalement discrets se divise essentiellement en deux axes, le premier étant de construire de tels profils discrets et donc de prouver leur existence, et le second étant d'étudier leur stabilité. L'objectif principal de cette thèse est d'approfondir cette seconde direction. De nombreux résultats existants sur la stabilité des profils de chocs totalement discrets introduisent des hypothèses contraignantes, telles que la restriction aux lois de conservation scalaires ou encore le fait d'imposer que les discontinuités approchées soient de faible amplitude. Les résultats de cette thèse visent à ouvrir la voie vers des résultats de stabilité non linéaire qui traiterait de systèmes de lois de conservation et non pas seulement de lois scalaires, et qui remplacerait l'hypothèse de faible amplitude des discontinuités par une hypothèse spectrale sur le linéarisé du schéma autour du profil de choc discret considéré.
Au niveau des résultats obtenus, dans un premier temps, la thèse se focalise sur l'obtention d'estimées de décroissance fines sur le linéarisé du schéma aux niveaux de solutions particulières. On se concentrera d'abord sur le linéarisé au niveau des solutions constantes avant de passer au cas plus compliqué du linéarisé au niveau des profils de chocs totalement discrets. D'un point de vue spectral, l'analyse du problème des chocs fait apparaitre une valeur propre plongée dans le spectre essentiel. Il en résulte de nouveaux termes dans l'analyse de la fonction de Green du schéma linéarisé et on détaille les propriétés de décroissance de chacun de ces termes. Dans une dernière partie, on utilise les estimations obtenues sur l'opérateur linéarisé pour établir un argument de stabilité non linéaire.