La première partie du seizième problème de Hilbert traite de la topologie des courbes algébriques réelles régulières dans le plan projectif. Il est bien connu que bon nombre des propriétés topologiques satisfaites par de telles courbes sont également vraies pour la classe plus large des courbes flexibles, introduites par O. Viro en 1984.
Le but de cette thèse est d'approfondir les origines topologiques des restrictions sur les courbes réelles, en lien avec le seizième problème de Hilbert. Nous ajoutons une condition naturelle à la définition de courbe flexible, à savoir qu'elles doivent intersecter une conique réelle vide Q comme une courbe algébrique, c'est-à-dire en des points positifs uniquement. Nous voyons CP(2) comme un cylindre sur un espace lenticulaire L(4,1)×R, que l'on compactifie en ajoutant RP(2) et Q aux bords, et nous utilisons la décomposition induite sur S(4)=CP(2)/conj.
C'est un fait standard que la surface d'Arnold joue un rôle essentiel dans l'étude des courbes de degré pair. Nous introduisons un analogue de cette surface pour des courbes de degré impair. Nous généralisons également la notion de courbe flexible pour inclure des surfaces non orientables. Nous considérons qu'une courbe flexible est de degré m si son auto-intersection est m² et si elle intersecte la conique Q de manière transverse en exactement 2m points. Notre résultat principal affirme que pour une telle courbe flexible (non nécessairement orientable) de degré impair m=2k+1 ne peut pas posséder plus de -χ(F)/2-k²+k+1, où χ(F) est la caractéristique d'Euler de F. Cette borne supérieure se simplifie en k² dans le cas d'une courbe flexible au sens usuel. Nous généralisons également notre résultat pour des courbes flexibles sur des quadriques, ce qui produit une nouvelle restriction, même pour des courbes algébriques.
Dans les chapitres introductifs, un aperçu détaillé de la théorie classique des courbes réelles planes est fait, en s'appuyant aussi bien sur le point de vue réel que complexe. Certains résultats à propos de la théorie des surfaces nouées dans les 4-variétés sont énoncés. Plus précisément, il est question de faits concernant la classe d'Euler du fibré normal d'une surface plongée. Cela nous amène ensuite à consider la fonction de genre non-orientable d'une 4-variété. Cela constitue un analogue de la conjecture de Thom (résolue par Kronheimer et Mrowka en 1994) pour des surfaces non orientables. Nous calculons presque totalement cette fonction pour CP(2), et nous étudions cette fonction sur d'autres 4-variétés.
Enfin, nous digressons autour de la nouvelle notion de courbes flexibles non orientables, où nous dressons une liste de résultats connus qui restent vrai dans ce cadre. Nous nous concentrons aussi sur la classe des courbes algébriques et flexibles qui sont invariantes sous l'action d'une involution holomorphe de CP(2), une notion introduite par T. Fiedler et appelées courbes symétriques. Nous donnons un état de l'art, et nous formulons une succession de petits résultats à propos de la disposition d'une courbe symétrique par rapport aux éléments de symétrie. Nous proposons également une approche pour tenter de généraliser la congruence de Fiedler p-n≡k² [16], valable pour des M-courbes symétriques de degré 2k, à des (M-1)-courbes symétriques de degré 2k.