Dans les années 30, Murray et von Neumann introduisent et étudient une certaine classe d’algèbres de Banach, à présent dites « de von Neumann ». Ils motivent ces dernières par leurs liens naturels avec la théorie des représentations unitaires des groupes infinis, mais aussi par leur intérêt pour formaliser mathématiquement la toute jeune physique quantique.
Dans cet exposé -essentiellement historique-, j’introduirai les notions de C*-algèbres et d’algèbres de von Neumann, en les motivant par l’examen de la structure algébrique de l’ensemble des observables d’un système quantique. Je présenterai ensuite la notion d’état KMS, laquelle tisse un lien profond entre états d’équilibres de systèmes quantiques statistiques et algèbres d’opérateurs. Si le temps le permet, j’expliquerai aussi comment associer de telles algèbres d’opérateurs à des groupes ou à des systèmes dynamiques, et les questions typiques qui se posent sur ces dernières.