Billards dans les pavages et conjecture de Novikov
par
Olga Paris-Romaskevich
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Europe/Paris
112 (ICJ)
112
ICJ
1er étage bâtiment Braconnier, Université Claude Bernard Lyon 1 - La Doua
Description
Un billard dans un pavage est un modèle pour la propagation de la lumière dans des milieux hétérogènes : un rayon de lumière se déplace à travers une tuile d'un plan, et se réfracte chaque fois qu'il traverse un bord. Fixer l'indice de réfraction à -1 permet de réduire (parfois) l'étude de cette dynamique à une dynamique unidimensionnelle, celle des échanges d'intervalles.
Sergei Novikov, inspiré par la physique de la conductivité, a posé la question topologique suivante. Considérons une surface 3-périodique S dans l'espace euclidien. Prenons un vecteur unitaire n et considérons la famille de plans {P_n} qui lui sont orthogonaux.
Quel est le comportement des composantes connexes des intersections de S avec les plans P_n ? Peuvent-elles errer vers l'infini de manière non linéaire (dite chaotique) ? La conjecture de Novikov affirme que l'ensemble des vecteurs normaux correspondants est « petit » - il a une dimension de Hausdorff inférieure à 2.
Nous montrons que le problème de Novikov dans le cas des surfaces à symétrie centrale de genre 3 (le cas le plus intéressant du point de vue de la physique) peut être reformulé en termes de billards dans les pavages, et proposons une solution partielle à la conjecture de Novikov - pour les surfaces génériques, l'ensemble des directions chaotiques a mesure 0.
L'exposé est basé sur une série de travaux en cours, en collaboration avec Ivan Dynnikov, Pascal Hubert, Paul Mercat et Alexandra Skripchenko.
Je tenterai une introduction aux objets plutôt qu’un exposé technique, les mots-clés étant dynamique des échanges d’intervalles (avec retournements), renormalisation, billards…
Devoir maison :
Pour vous préparer à cet exposé, un petit devoir maison (de 5 min) :