Étant donné une variété compacte de dimension 3 $(M^3, [h])$, quand l’on pourrait remplir par une variété asymptotiquement hyperbolique de dimension 4 $(X^4, g+)$ telle que $r^2g_+|_M = h$ sur le bord $M = \partial X$ pour certaine fonction définissante $r$ sur $X^4$ ? Ce problème est motivé par
la correspondance AdS/CFT en gravité quantique propos´e par Maldacena en 1998 et provient également de l’étude de la structure des variétés asymptotiquement hyperboliques. Dans cet exposé, on discute le problème de la compacité des variétés asymptotiquement hyperboliques en dimension 4, c’est-à-dire, comment la compacité de l’infini conforme entraîne
la compacité de la compactification des telles variétés sous des hypothèses convenables sur la topologie et des invariants conformes. En tant qu’applications, on étudie le problème de l’unicité, de l’existence et de la non-existence des solutions.