Méthodes algébriques pour la résolution d'équations différentielles matricielles d'ordre arbitraire

par Carole El Bacha (Université de Limoges ; CNRS XLIM UMR 6172 - DMI)

jeudi 10 nov. 2011, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

XR.203 (Bâtiment XLIM)

Dans cette thèse, nous développons de nouvelles méthodes algébriques pour la résolution d’une classe importante de systèmes d’équations différentielles linéaires d’ordre arbitraire. De tels systèmes ont des applications dans de nombreuses disciplines scientifiques comme la chimie, la physique, la mécanique et la théorie du contrôle. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l’analyse locale des systèmes d’équations différentielles linéaires ordinaires au voisinage d’une singularité. Nous développons des algorithmes pour le calcul des solutions régulières formelles. Ces algorithmes sont directs, i.e., ne transforment pas le système en un autre du premier ordre et de taille plus grande. Nos approches sont fondées sur l'utilisation des propriétés des matrices polynomiales dont le déterminant joue le même rôle que les polynômes indiciels dans le cas scalaire. Puis, nous nous intéressons à l'étude des formes k-simples d’un système différentiel linéaire explicite du premier ordre. Ces formes donnent des informations sur les pentes entières du polygone de Newton du système et permettent de calculer les solutions formelles sans ramification. Notre contribution se reflète par le développement d’une méthode directe pour le calcul de ces formes. Dans un second temps, nous étudions les systèmes d’équations algébro-différentielles linéaires composés d’équations différentielles ordinaires couplées à des équations algébriques et nous proposons des algorithmes afin de les découpler en une partie purement différentielle et une autre purement algébrique. Une autre contribution de la thèse est l'étude des complexités et l'implémentation en Maple des algorithmes mis en oeuvre.