Le problème de Galois inverse demande si tout groupe
fini se réalise comme groupe de Galois d'une extension finie
galoisienne du corps des nombres rationnels. Il est toujours
ouvert, même si on sait réaliser ainsi de nombreuses classes
de groupes finis. L'exposé présentera un analogue géométrique
de ce problème : quels groupes algébriques se réalisent
comme groupes d'automorphismes de variétés algébriques
projectives ? On verra en particulier que la réponse
est affirmative pour les groupes finis (comme conséquence
de développements liés au problème de Galois inverse)
et plus généralement, pour les groupes algébriques linéaires
(d'après un résultat récent de Mathieu Florence).
Mais la réponse est négative en général : par exemple,
toute courbe elliptique E se réalise comme groupe
d'automorphismes, mais non le produit E x E.