Tout germe de difféomorphisme $f:(\mathbb{C}^2,(0,0))\to \mathbb{C}^2,(0,0))$ qui préserve la forme symplectique standard et admet l’origine pour point fixe elliptique non-résonnant est formellement conjugué à un difféomorphisme symplectique formel qui est intégrable, sa forme normale de Birkhoff. Bien que cette forme normale formelle soit en général divergente, elle détermine pour une bonne part la dynamique de $f$ au voisinage de son point fixe elliptique. En particulier, quand la forme normale de Birkhoff est non-dégénérée (a de la torsion), on peut établir un théorème KAM qui assure l’existence d’orbites quasi-périodiques au voisinage de l’origine. Le cas où au contraire la forme de Birkhoff est triviale soulève des questions intéressantes que j’aborderai.