L'objectif de cet exposé est de présenter le problème de Cauchy pour l'équation de
Schrödinger non linéaire (NLS) avec des données initiales aléatoires, en particulier
celles distribuées selon les champs gaussiens singuliers. La principale difficulté est la
basse régularité des données initiales qui nous empêche d'appliquer la méthode déterministe.
Nous introduirons d'abord le concept des champs gaussiens. Ensuite, nous nous concentrerons
sur la deuxième itération de Picard et discuterons de l'ansatz de résolution classique de
Bourgain ainsi que de l'ansatz raffiné de Deng--Nahmod--Yue.
Concernant le problème de la mesure invariante NLS en dimension~$3$, qui reste une question
ouverte, nous expliquerons également un lien avec les enjeux dans la dérivation de
l'équation cinétique dans la théorie de la turbulence des ondes.