Soit P un polynôme de degré d et de coefficient dominant a, qui s’annule en 0.
On s’intéresse aux petites valeurs de la distance de P(n) à l’entier le plus proche, lorsque n parcourt les N premiers entiers.
Le théorème de Dirichlet permet de traiter le cas d=1, avec une borne 1/N. L’exposant -1 de N est optimal, et c’est le seul cas connu. Lorsque d vaut au moins 2, de nombreux résultats ont été obtenus pour obtenir le meilleur exposant possible.
Nous utilisons la méthode de Weyl et quelques nouveaux ingrédients pour obtenir des résultats explicites.
L’exposant -1/2^(d-1)+ε est remplacé par -1/2^(d-1)+0(1/loglog N), avec des constantes explicitées dans le 0. Ceci raffine très légèrement les résultats obtenus dans les cas P=aX^d pour d=3,4,5.