Une fraction rationnelle à coefficients complexes est dite hyperbolique si elle est uniformément dilatante sur son ensemble de Julia. La collection de ces applications hyperboliques forme un ensemble ouvert dans l'espace de modules. La dynamique sur l'ensemble de Julia reste topologiquement constante lorsque l'application se varie dans une composante hyperbolique. Par contre, la géométrie de l'ensemble de Julia change radicalement lorsque l'application tends vers le bord de la composante hyperbolique. Il est donc important de comprendre la structure du bord ainsi que la dynamique des applications sur le bord.
Dans cet exposé, je me concentre sur la famille des polynômes cubiques. Sa composante hyperbolique principale est définie par la composante hyperbolique qui contient $z3$. Elle est topologiquement une 4-boule réelle mais son bord présente une structure fractale compliquée. Je vais parler des résultats historiques sur ce problème et les progrès récents.
En collaboration avec Jonguk Yang.