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SUMMARY:Combinatoire des cœurs généralisés et applications
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UID:indico-event-10842@indico.math.cnrs.fr
DESCRIPTION:Speakers: Thomas Gerber (Ruhr University Bochum)\n\nUn $e$-cœ
 ur est une partition d'un entier dont le diagramme de Young ne possède pa
 s d'équerre de taille $e$. L'étude des $e$-cœurs est un thème récurre
 nt en combinatoire algébrique depuis la fameuse conjecture de Nakayama (p
 rouvée par Brauer et Robinson en 1947)\, qui affirme que les$e$-cœurs pa
 ramètrent les blocs du groupe symétrique en caractéristique $e$. Depuis
 \, plusieurs problèmes d'énumération sur les $e$-cœurs ont donné des 
 résultats remarquables\, à l'interface de l'algèbre\, des probabilités
  et de la théorie des nombres\, comme le théorème de Granville et Ono d
 e 1996 sur l'existence de cœurs de taille arbitraire (et les propriétés
  arithmétiques des séries génératrices correspondantes)\, ou celui d'A
 nderson de 2002 sur le nombre de cœurs simultanés (il est fini et donné
  par le nombre de Catalan rationnel correspondant).Dans cet exposé\, j'ex
 pliquerai comment la construction des $e$-cœurs par la géométrie d'alc
 ôves de type $A_{e-1}$ affine (due à Lascoux) permet de généraliser la
  définition des cœurs aux autres types Dynkin (finis ou affines). De plu
 s\, nous construirons une statistique sur le groupe de Weyl correspondant\
 , appelée longueur atomique\, qui généralise la notion de taille d'un c
 œur à tous les types\, et dont un cas particulier permet de retrouver le
 s formules établies par Garvan\, Kim et Stanton (en 1990 pour les cœurs 
 usuels) et Stucky\, Thiel et Williams (en 2023 pour des généralisations 
 affines).Finalement\, j'évoquerai des constructions combinatoires explici
 tes pour ces cœurs généralisés\, ainsi qu'une application à la recher
 che des solutions de certaines équations diophantiennes de type Pell-Ferm
 at. Il s'agit de travaux en commun avec Olivier Brunat (Paris) et Nathan C
 hapelier-Laget (Sydney).\n\nhttps://indico.math.cnrs.fr/event/10842/
LOCATION:Salle Fokko du Cloux\, Bât Braconnier (ICJ\, Université Lyon 1)
URL:https://indico.math.cnrs.fr/event/10842/
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