Les ultraproduits sont une construction de la logique mathématique pour créer à partir d’une famille de structures une nouvelle structure. Ils sont équipés d’un principe de transfert qui donne lieu à beaucoup d’applications en algèbre et autres domaines.
Dans cet exposé, nous allons d’abord étudier leur construction et le théorème de Los qui permet de déduire des propriétés de l’ultraproduit à partir des structures originales. La deuxième partie sera consacré à quelques exemples ainsi qu’à la preuve du théorème d’Ax-Grothendieck à l’aide d’un ultraproduit de corps.
Cet exposé n’est pas lié au sujet de ma thèse en théorie des modèles. Par contre, je voudrais donner une introduction compréhensible pour tout mathématicien(ne) à ce sujet intéressant. Des connaissances préalables en logique ne sont pas nécessaires.