Optimisation spectrale géométrique sur des surfaces de toute topologie
Nous montrons que la première valeur propre du Laplacien admet un maximum parmi les métriques riemanniennes d’aire fixée sur une surface compacte sans bord, quelle que soit sa topologie. La réponse à cette question n’était connue que pour des topologies de genre petit, et restait ouverte depuis les travaux fondateurs de Hersch 1970 (sphère), Li-Yau 1982 (plan projectif), Berger 1973, Nadirashvili 1996 (tores).
Ce résultat repose sur des constructions et propriétés de convergence de suites maximisantes précises qui satisfont une condition à la Palais-Smale sur la fonctionnelle localement Lipschitzienne « première valeur propre ».
Nous expliquerons pourquoi ce résultat d’optimisation est aussi vrai pour une large classe de fonctionnelles mettant en jeu des combinaisons de valeurs propres, ainsi que pour le cas analogue de l’optimisation des valeurs propres de Steklov sur des surfaces compactes à bord, qui a gagné en intérêt depuis Fraser-Schoen 2012.
Geometric spectral optimization on surfaces of any topology
We prove that the maximization of the first eigenvalue of the Laplacian is realized with respect to Riemannian metrics of fixed area on closed surfaces of any topology. The answer to this question was only known for topologies with low genuses and was open since the seminal papers of Hersch 1970 (sphere), Li-Yau 1982 (projective plane), Berger 1973, Nadirashvili 1996 (tori).
Our result relies on constructions and convergence properties of accurate maximizing sequences that satisfy a Palais-Smale-like condition on the locally Lipschitz functional « first eigenvalue ».
We will also explain why the optimization result also holds for a wide class of combinations of Laplace eigenvalues and in the analogous case of the optimization of Steklov eigenvalues on surfaces with boundary that has received a renewed attention since Fraser-Schoen 2012.
Idriss Mazari