Algèbres courbées à homotopie près et intégrabilité en géométrie complexe dérivée

par Sinan Yalin

mardi 5 déc. 2023, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

IMT 1R2 207 (Salle Pellos)

La question à l’origine de ce travail en collaboration avec Joan Bellier-Millès est la suivante: existe-t-il un analogue du théorème d’intégrabilité de Newlander-Nirenberg en géométrie complexe dérivée ? La notion de structure presque complexe intégrable peut se décrire formellement, au voisinage d’un point, comme la donnée d’une algèbre courbée sur une certaine opérade courbée. Une idée intéressante pour obtenir un modèle, en géométrie dérivée, d’espace presque complexe intégrable, est donc de considérer une version homotopiquement cohérente de ces algèbres et de recoller ces données locales.

 

 

Nous avons développé une théorie homotopique des algèbres courbées sur des opérades courbées dans laquelle on peut implémenter des constructions usuelles comme l’adjonction bar-cobar et une théorie de cohomologie à la André-Quillen. Ce cadre est suffisamment général pour étudier les briques de base de notre modèle de géométrie complexe dérivée, mais aussi d’autres exemples importants comme celui des algèbres A-infini courbées homotopiquement unitaires, qui structurent les catégories de Fukaya en topologie symplectique.

 

J’expliquerai durant cet exposé les différentes notions et idées clé de notre travail. On s’intéressera enfin à la comparaison entre notre modèle et l’approche de Pridham de la géométrie analytique dérivée, elle-même reliée à celle développée par Lurie et Porta.