Dans cette thèse, nous montrons une correspondance du type Yau–Tian–Donaldson sur une large classe de fibrations toriques, introduites par Apostolov–Calderbank– Gauduchon–Tonnesen-Friedman et appelées fibrés principaux toriques semi-simples. Nous démontrons l’équivalence entre l’existence d’une métrique kählérienne extrémale sur l’espace total et une notion d’uniforme K-stabilité pondérée du polytope de Delzant correspondant à la fibre torique. Pour cela, nous utilisons qu’une métrique kählérienne extrémale sur l’espace total compatible avec la structure de fibré, correspond à une métrique avec courbure scalaire constante pondérée (au sens de Lahdili) sur la fibre torique associée. Comme application, nous démontrons que le fibré en plans projectifs $P(L1 \oplus L2 \oplus L3)$ au dessus d’une courbe elliptique admet une métrique kählérienne extrémale dans chaque classe de Kähler.
Dans une seconde partie, en travail commun avec Delcroix, nous obtenons plusieurs conditions assurant l’uniforme $K$-stabilité pondérée d’un polytope compact convexe simple. Nos critères peuvent être vérifiés en pratique. En vertu de la correspondance de Yau–Tian–Donaldson mentionnée ci-dessus, nous obtenons l’existence d’une métrique kählérienne extrémale sur l’espace total d’un fibré semisimple principal torique dès qu’une des conditions suffisantes sur la fibre est satisfaite. Nous montrons en particulier qu’une classe de fibrés principaux semisimples toriques Y dont la première classe de Chern $c1(Y)$ est positive admet une métrique kählérienne extrémale dans $c1(Y)$ si sa fonction affine extrémale est majorée par $2(dim(Y)+1)$. Nous appliquons ensuite la condition suffisante pour exhiber de nouveaux exemples de basse dimension de métriques kählériennes extrémales.
Finalement, dans un travail en collaboration avec Apostolov et Lahdili, nous introduisons une généralisation des fibrés principaux toriques semisimples où la fibre n’est pas nécessairement torique. Nous supposons à la place que la fibre est une variété kählérienne munie d’une action isométrique hamiltonienne d’un tore. Pour de tels fibrés, appelés fibrés principaux semi-simples, nous démontrons que l’existence d’une métrique kählérienne extrémale sur l’espace total est équivalente à l’existence d’une métrique à courbure scalaire constante pondérée sur la fibre ainsi qu’à une notion de propreté de l’énergie de Mabuchi pondérée de la fibre.