Des points fixes de contraction aux lois de Bernouilli

par Jean-Bernard Baillon (Université Paris 1 - Panthéon Sorbonne)

vendredi 13 mars 2015, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

XLIM Salle X.203

(Travail en commun avec Roberto Cominetti et José Vaisman). Soit $T:E\mapsto E$ une contraction non linéaire dans un espace vectoriel normé $E$. On suppose que l'ensemble $Fix(T)$ des points fixes de $T$ est non vide. On considère l'itération $$ x_n=(1-\alpha_n)x_{n-1} + \alpha_n Tx_{n-1} $$ avec $x_0 \in E$ et $0<\alpha_n<1$. L'inégalité $$ || x_n - Tx_n || \leq C \frac{dist(x_0,Fix(T)}{\sqrt{\sum \alpha_n (1-\alpha_n)}} $$ a été conjecturée en 1996. Dans le cas où $\alpha_n$ est constant, $C=\frac{2}{\sqrt{\pi}}$ a été trouvé. Dans le cas général, cette même constante a été trouvée en 2013. Nous nous intéresserons ici au cas où $T$ est affine. On montre dans ce cas que $C=2 \eta =0,9376$. Pour démontrer ce résultat, on fera appel aux lois de Bernoulli. En particulier, on montre que si $S_n = X_1+...+X_n$ est une somme de lois de Bernoulli indépendantes, de paramètre $p_i$ de variance $\sigma_n^2= \sum p_i(1-p_i)$, alors la meilleure constante $\eta$ qui vérifie: $$ \sigma_n P(S_n=j) \leq \eta $$ pour tout j,n et p_i, est donnée par $$ \eta= Max [ \sqrt{2\lambda}\exp(-2\lambda)\sum_{k=0}^\infty (\frac{\lambda^k}{k!})^2 ] = 0,4688... $$